Astrofyzika III: Teoretická mechanika

V tomto dílu seriálu o astrofyzice se nejprve vrátíme o pár let zpět. Popíšeme si základy nebeské mechaniky a zavedeme si pojmy, které budeme dále využívat pro popis vesmíru. Ukážeme si, jak speciální teorie relativity (STR) změnila představy nahlížení na popis základní interakce mezi vesmírnými objekty. Vzájemné silové působení mezi dvěma hmotnými objekty nazýváme gravitační interakce. I když ji velmi dobře známe z běžného života, její správný fyzikální popis je úkol, který ani dnes není dotažený do konce.

Do poloviny 17. století existovaly vedle sebe dvě zcela odlišné a zdánlivě nesouvisející nauky o pohybu. Nebeská mechanika studující pohyb planet a hvězd a pozemská mechanika zabývající se pohybem běžných těles. Johanes Kepler (na titulním obrázku) z velkého množství astronomických pozorovaní empiricky popsal tři obecné zákonitosti, kterými se řídí pohyb planet ve sluneční soustavě:

1.    Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách s malou výstředností, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
2.    Plochy opsané průvodičem planety za stejný čas jsou stejné (na obrázku šedé plochy).
3.    Třetí mocniny velkých poloos jsou přímo úměrné čtvercům oběžných dob planet.

Pozemská mechanika vybudoval Isaac Newton, který navázal na kinematiku Galilea. Newton ovšem s použitím Keplerových zákonů nalezl fundamentálnější zákon, kterým se řídí nejen planety, ale i všechna tělesa na „nebi i na Zemi“.

Z jednoduché myšlenky, že planety neodpovídají zákonu setrvačnosti, protože se pohybují po zakřivených drahách kolem Slunce, usoudil, že musí existovat síla směřující ke Slunci. Z třetího Keplerova zákona vyplývá, že tato síla je úměrná hmotnosti a převrácenému kvadrátu vzdálenosti. Podle zákonu akce a reakce však silou stejné velikosti působí i planeta na Slunce. Newton tak zjistil, že pohyb planet ve sluneční soustavě se dá snadno vysvětlit hypotézou, že každá dvě tělesa se vzájemně přitahují silou
kde gravitační konstanta G musela být určena empiricky (z experimentu). Newton ovšem zjistil, že tento zákon popisuje i tělesa na Zemi a jejich tíhu a volný pád a vyhovuje i Galileiho zákonu. Poprvé v historii fyziky tak došlo ke spojení dvou samostatných fyzikálních popisů nebeské a pozemské mechaniky. Snaha o takovéto slučování jednotlivých teorií přetrvává do dnes a je jedním z nejdůležitějších prvků moderní fyziky.

Z gravitačního zákona přirozeně plynou nejen původní Keplerovy zákony, ale i další pozorované efekty a možnosti pohybu planet. Mějme dvě tělesa o hmotnostech m1 a m2, která na sebe gravitačně působí. Pohybové rovnice těchto těles potom budou

kde r1 a r2 jsou jejich polohové vektory. Je výhodné posunout počátek souřadnic do těžiště obou těles. Poté můžeme nalézt polohové vektory jednotlivých částic, které závisejí na jejich vzájemné vzdáleností r:
Při zavedení veličiny
m nazývané redukovaná hmotnost, můžeme pohybové rovnice obou těles převést na problém pohybu jednoho tělesa umístněného do jejich společného těžiště a mající hmotnost rovnou právě redukované hmotnosti. Toto je ve schodě s první impulzovou větou.

Dále studujme pohyb v centrálním poli pomocí energetických úvah. Potenciální gravitační energie je rovna
a je tedy funkcí pouze poloměru vzdálenosti r od centrálního tělesa. Zaveďme zde proto polární souřadnice podle obrázku.

Předchozí pohybové rovnice pro obíhající těleso se tak separují na radiální a tečnou složku

Řešení druhé rovnice
vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti a zároveň vysvětluje druhý Keplerův zákon (plošná rychlost je časově konstantní). Veličina L=J/m je moment hybnosti na jednotku hmotnosti (tzv. specifický moment hybnosti). První pohybovou rovnici tak můžeme napsat ve tvaru

Stejný výsledek obdržíme i ze zákona zachování energie přepsaného do polárních souřadnic

kde E je celková energie systému. Obdržíme tak rovnici popisující radiální složku pohybu
a přihlédnutím na předchozí výsledek i rovnici pro tvar trajektorie
Ze zákona zachování energie vidíme, že se vlastně jedná o jednorozměrný pohyb v centrálním poli s tzv. efektivním potenciálem
složeného z gravitační potenciální energie a z odstředivé potenciální energie. Na grafu je závislost tohoto efektivní potenciálu na vzálenosti od centrálního tělesa. Vidíme, že mohou nastat čtyři základní pohyby v centrálním poli v závislosti na celkové energii (vodorovné energetické čáry odpovídají zdola: kružnici, elipse, parabole a hyperbole). Pohyb po kružnici je ovšem pouze teoretický. Z důvodu fluktuací a nestability tohoto stavu je pohyb v centrálním gravitačním poli po kružnici nereálný.

Pokud E=V(r), pak nastávají body obratu dráhy (na grafu body A B C D), ve kterých funkce vzdálenosti r(t) od středu přechází od růstu k poklesu nebo naopak. Tyto body obratu určují rozmezí vzdálenosti od centra, v nichž se částice může pohybovat. Můžeme si potenciál představit jako důlek, ve kterém se pohybuje kulička (nemá-li kulička dostatečnou energii, bude kroužit v důlku po elipse; má-li kulička dostatečnou energii, dostane se kulička z důlku, pouze se změní její směr a rychlost) . Pokud je částice uzavřená z obou stran nazýváme tento pohyb finitní, pokud ne, pak pohyb infinitní a částice se může pohybovat do nekonečna.

Rovnice pro tvar trajektorie lze pomocí integrace analyticky vyřešit
Toto je rovnice kuželosečky s ohniskem v počátku souřadnic (ve společném těžišti obou těles). Protože polohové vektory r1 a r2 obou těles m1 a m2 jsou úměrné vektoru r, opisuje každé z nich rovněž kuželosečku. Nejdůležitějším případem je pohyb po elipse, jejíž hlavní poloosa a vedlejší poloosa jsou dány vztahy
Velmi často se zavádí veličina nazvaná výstřednost

pomocí níž lze vyjádřit nejbližší (perihélium) a nejvzdálenější (afélium) bod elipsy

Dobu jednoho oběhu dostaneme integrací rovnic pro trajektorii podle času od t=0 do T a podle φ od φ=0 až 2π a následné úpravě obdržíme přesný třetí Keplerův zákon

Dalším zajímavým výsledkem této trajektorie je neuzavřenost smyčky. Dochází k velmi drobnému pootáčení této elipsy podle souřadnice φ - tzv. stáčení perihélia (viz obrázek).

Toto stáčení bylo velmi přesně měřitelné u planety Merkur, která je nejblíže Slunci. Napozorovaná precese perihélia činí 5600″ (obloukové vteřiny) za 100let, kde 5026″ je způsobena pohybem vztažné soustavy. Zbývajících 575″ za 100let je již opravdu precesním pohybem způsobeným Sluncem a ostatními planetami. Ovšem i po odečtení těchto gravitačních vlivů zůstane velmi malý anomální posuv perihélia o 43″ za 100let, které se Newtonovou mechanikou nedají vysvětlit! Snahy o vysvětlení pomocí vlivu další neznáme planety mezi Merkurem a Sluncem byly také neúspěšné. Dále vznikaly různé pochybnosti o přesnosti Newtonova zákonu gravitace a převrácené hodnotě čtverců. Dělaly se pokusy o modifikaci a různé male opravy (např. Hallův zákon, Clairautův zákon).

Newtonův popis gravitační interakce však dostal ještě větší úder po zveřejnění STR a konečné rychlosti světla a informace. I když se po objevení nové planety (Neptun) v roce 1890 z drobných odchylek od výpočtů dráhy Uranu ukazoval Newtonův gravitační zákon jako velice úspěšný, měl zásadní a neodstranitelnou vadu. Okamžité působení těles na dálku v prázdném prostoru. STR takový přenos informace nadsvětelnou rychlostí nedovolovala! Po roce 1905 bylo jasné, že teorie gravitace bude muset být zpřesněna a vzájemně slučitelná s relativistickými jevy.

Dalším neřešeným problémem byl vznik samotné gravitace. Pokus Le Sageo hypotézy z roku 1782 o vysvětlení gravitace pomocí narážení částeček étheru do hmotných těles neobstála.

Navíc zde byla experimentálně prověřená teorie elektromagnetismu, ze které vznikla STR, ale nebyla vůbec provázaná s gravitační interakcí - vysvětlení, jak působí gravitační pole na světelný paprsek. Byla zde i významná podobnost mezi Coulombovým a Newtonovým zákonem, kde Coulombův zákon dostál zpřesnění v podobě Maxwellových rovnic. Gravitace na nalezení takových rovnic musela čekat až do roku 1916.

Citace

[1] V. ULLMANN: Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu, ČSAV Ostrava, 1986

jméno (povinné)

e-mail (nebude zveřejněn) (povinné)

web