Astrofyzika II: Speciální teorie relativity

Píše se rok 1905 a Albert Einstein vydává revoluční článek s překladem „Teorie invariantů“, dnes více známý jako Speciální Teorie Relativity (STR). Pojďme se podívat, čím je tato teorie tak průlomová i v astrofyzice. Zcela totiž mění Newtonovy názory na prostor a čas se zahrnutím do té doby nejmodernější Maxwellovy teorie o elektromagnetickém záření a nahrazuje Galileiův princip relativity.

„Speciální“ je nazvaná proto, že se zabývá pouze pohybem v inerciální vztažné soustavě (tj. soustava pohybující se bez zrychlení). Nepopisuje ale například gravitační pole, kde volný pád je zrychleným pohybem (toto popisuje až Obecná teorie relativity sepsaná v následujícím díle seriálu). Výhodou STR je její relativní jednoduchost a její základ spočívající v pouhých dvou jednoduchých postulátech.

Do této doby (1905) byl v platnosti Galileův princip relativity, který pomocí Galileových transformací popisoval pohyb při přechodu z jedné inerciální soustavy do druhé. Pro jednoduchost předpokládejme, že se tato soustava S´ pohybuje vůči soustavě S, která je v kliku, rovnoměrně přímočaře rychlostí v ve směru osy x, jak je vidět na obrázku.

Jednoduchou úvahou dokážeme tyto transformační vztahy sepsat v podobě

nebo pro pohyb proti ose x nazvané jako inverzní Galileiho transformace

Nyní můžeme říct 1. postulát STR:

Všechny fyzikální zákony lze vyjádřit rovnicemi, jež mají stejný tvar ve všech vztažných soustavách pohybujících se navzájem konstantní rychlostí.

To znamená, že libovolný fyzikální popis musí být invariantní (neměnný) při inverzní transformaci.

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) ukázal, že Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetické pole nejsou invariantní proti Galileovým transformacím. Tento velmi významný fyzik a matematik posléze našel transformace, vůči kterým jsou Maxwellovy rovnice invariantní. Tyto vztahy se na jeho počest jmenují Lorenzovy transformace. Nastíníme jejich poměrně jednoduché odvození.  Předpokládejme stejnou situaci jako na předešlém obrázku. Zkusme ovšem Galileiovy transformace obohatit o koeficient k, který zkusíme posléze nalézt. Popisujme opět pouze transformaci v ose x

Její inverzní transformace popisující přechod od soustavy S k S´

Po dosazení za x´ dostaneme

a již zde vidíme, že časové souřadnice t a t´ nejsou stejné. Při jednoduchém vyjádření z předchozí rovnice dostaneme i transformační vztah pro časovou složku

Nyní stačí nalézt faktor k, ke kterému však potřebujeme říct 2. postulát STR:

Rychlost světla ve vakuu má pro všechny pozorovatele stejnou hodnotu, bez ohledu na jejich pohybový stav tj. c=c´ (rychlost světla se velmi často označuje c)

Tento postulát není sice tak samozřejmý, ale v minulém díle jsme si řekli, že byl experimentálně potvrzen v Michalson-Morleyho experimentu. Nyní si představme, že v okamžiku, kdy jsou soustavy S a S´ ve stejném počátku, vyšleme světelný záblesk v jedné ze soustav a budeme se ho snažit naměřit v druhé soustavě. Podle postulátu musíme platit

Dosazením za x´ a t´ a následným porovnáním s hledaným vztahem (necháme jako malé matematické cvičení zvídavému čtenáři) nalezneme koeficient

Výsledné Lorenzovy transformace tedy dostáváme ve tvaru

kde inverzní Lorenzova transformace se bude lišit pouze ve znaménku.

Toto elegantní odvození ukázal až Albert Einstein, který hledal opravdu fyzikální invariantnost popisu. Lorenz k těmto vztahům dospěl sice dříve, ale předpokládal existenci Etheru (viz předchozí díl seriálu), a proto jeho práce byla velmi kritizována, i Lorenzem samotným. Tehdejší velikán Max Planck poté doporučil, aby se zaváděl termín relativita, který lépe vystihuje transformace mezi inerciálními vztažnými soustavami.

Přímo z Lorenzových transformací vyplývají některé důsledky STR, které jsou dobře známe i ze středoškolské fyziky a to dilatace času (zpomalení času pro tělesa pohybující se vysokou rychlostí) a kontrakce délky (zkrácení délky pro tělesa pohybující se vysokou rychlostí). Vidíme ovšem, že v transformaci vystupuje poměr rychlosti tělesa a světla (často označovaný β-Betha). Pro rychlosti běžné z našeho každodenního života je tento poměn velmi malý a výsledný koeficient k (často označovaný jako γ-gamma) velmi blízký jedničce a proto tyto jevy běžně nepozorujeme. Experimentálně jsou však velmi dobře prokázané.

Einstein také ukázal, jak se budou transformovat některé důležité fyzikální veličiny. Výhodným matematickým popisem  STR je pomocí čtyřvektoru. Nejzákladnějším čtyřvektorem je tzv. časoprostorový (resp. prostoročasový), který popisuje libovolnou událost v prostoru (t,x,y,z). Na první složce napíšeme čas události a na zbylých třech pozicích její souřadnice (resp. pro prostoročas (x,y,z,t). Jednoduše matematicky pak zapíšeme Lorencovi transformace pomocí tenzorového počtu (maticový zápis a výpočet) jako

Čtenář znalý vyšší matematiky vidí, že determinant Lorenzovy transformační matice je roven jedné. To znamená, že se jedná o rotaci daného čtyřvektoru v tzv. Minkowském prostoru. Tento prostor je velmi podobný třírozměrnému Euklidovskému prostoru, kde je z důvodu práce s prostoročasem přidána čtvrtá dimenze, čas, ovšem s nutnou jednotkou c. Pokud tedy budeme hledat délkový diferenciální element (infinitesimálně malý element v daném prostoru) v tomto prostoru dostaneme

kde indexi i=1,2,3 postupně značí složky x,y,z. V STR se velmi často dává časové složce index i=0. V Euklidovském prostoru by byl tento element uhlopříčka krychličky o rozměrech

Koeficienty ležící u jednotlivých složek představují tzv. geodetiky. Zapíšeme-li tyto geodetiky do matice, dostaneme v astrofyzice zcela zásadní metrický tenzor například pro Minkowského prostor dostaváme

ten vlastně ve své podstatě popisuje geometrii a křivost daného prostoru. Lze poměrně jednoduše vypočítat ruzné členy i pro křivočaré souřadnice. Geometrie vesmíru a jeho křivost je nejzákladnější otázka kosmologie a astrofyziky.

Problém je jak ovšem zobrazovat čtyřrozměrný prostor. Nesnažte si ho představovat, neboť lidský mozek na více jak 3-rozměrný prostor není vyvinutý. Jednoduchým trikem si však můžeme pomoci v naší představivosti. Stejně jako na fotografiích můžeme zobrazit prostor pro daný neměný čas, lze potlačit jeden souřadnicový rozměr a nahradit ho časovým.  Například světelný impulz šířící se volně v prostoru vytvoří v takovémto zobrazení tzv. světelný geodetický kužel, kde čas ubíhá směrem vzhůru.

STR popisuje fyzikální procesy pomocí čtyřvektorů. Po prostoročasovém vektoru je neméně významný čtyřvektor energie a hybnosti (E,px,py,pz), kde po Lorenzově transformaci dostaneme

Vidíme, že při nulové rychlosti dostaneme snad neznámější fyzikální vztah mezi energií a tzv. klidovou hmotností

Předchozí obecnější vztah pro energii a hybnost přináší i další důležitou informaci, něž jen hodnotu množství energie obsažené například v jádru atomu. Žádná hmotná věc, ale i událost (informace), se nemůže pohybovat nadsvětelnou rychlostí. Čistě teoretické částice nazývané tachyony by tuto vlastnost měly mít, v realném světě ale nemohou existovat! STR tedy dává jasnou odpověď na otázky, co je hmotnost (je to vlastně energie) a co je současnost. Tento kauzální problém, jak je často označován, lze dobře vysvětlit na následujícím obrázku. Je zde ukázáno, které jevy se mohou ještě ovlivnit. Představme si vznik události v bodě A. Ta podle STR má možný světelný kužel informace.  V místě B tento jev můžeme ještě pozorovat jako součastný, ale v místě C již ne. Toto je například dobře patrné při pozorování do hlubokého vesmíru. Budeme-li pozorovat hvězdu, která je například 1000 světelných let daleko, pak sledujeme vlastně její obraz před 1000lety. Takovou dobu k nám totiž daná informace cestovala vesmírem.

STR přinesla velké množství nových poznatků. Ten pravý astrofyzikální „bum“ měl však přijít o dalších 11let později.

počet komentářů: 4 »

1. 

   jindrouch říká:
   11. 6. 2010 v 16:10

   Nejde mě do hlavy jedna věc: když začal Velký třesk mohlo mít veškeré jsoucno “fotonový” charakter, čemuž by odpovídalo to, že obrovská hmotnost byla soustředěna v tak malém objemu, protože fotonů můžeme do určitého prostoru soustředit libovolně mnoho, viz koherentní záření. Tedy Velký třesk mohl zahájit svou existenci přímo rychlostí světla, čemuž by dnes odpovídal “kosmologický horizont”. Tedy existovala by dost velká dilatace času a nám se může jevit vzdálený vesmír trochu jinak, než je nedilatovaná skutečnost. Postupně se zmenšující hodnota dilatace času by se mohla do jisté míty podepsat na naši zkušenosti s rozpínáním vesmíru - čím - čím více do minulosti, tím větší dilatace času a tím daná expansní rychlost dilataci odpovídající. Je mě jasné, že se vesmír musí v objemu zvětšovat, aby byl dynamicky možný, ale není to rozpínání zašuměno reliktními událostmi do současnosti? Také celkové rozpínání nemusí být absolutní, mohou existovat enklávy, kde naopak dochází k hroucení vlivem velkých hmot. Takové oblasti hroucení by musely mít početnost vázanou na čas - čím vzdálenější minulost, tím méně takových hroucení. Nevím, co si o tom našem vesmíru mám myslet.

2. 

   Bezi říká:
   13. 6. 2010 v 12:00

   Dobrý den,
   pokusím se na Vaše dotazy postupně odpovědět (podrobnějši komentář se dozvíte v jednotlivých dílech o kosmologii).Velmi si cením Vašemu hlubšímu zájmu o tuto problematiku.
   Dalo by se odpovědět velmi jednoduše, že všechno neni tak jednoduché, jak se jeví. Máte pravdu, že fotony se chovají jako tzv. bosony (částice s celočíselným spinem) a na ně se nevstahuje Pauliho vylučovací princip a mohou se nacházet ve stejném stavu. To počáteční období vesmíru se nazývalo éra záření a vziká zde i daný horizont. Samozřemně, že při dněšních přesných kosmologických měření je počítáno s relativistickými jevy.
   Dilatace, o které mluvíte Vy, se nazýva kosmologický posuv. Ta je opravdu způsobená rozpínáním samotného vesmíru. Počítá se i s časovou změnou Hubbleovy “konstanty”.
   Při vyhodnocování reliktního záření musíte odečíst pozadí způsobené dnešními objekty. Toto ale s dnešním softwarem není žádný problém.
   K vytváření “enkláv” se dostaneme v jednotlivých dílech také. Samozřejmě, že dochází k lokálnímu shlukování hmoty (galaxie, hvězdy,…), ale při pohlížení ve velkých měřítcích (Mpc) se vesmír jeví velmi homogenně a izotropně. Otázka, kdy bylo vhodné období pro vzik drobných fluktuací a z nich vzniku galaxií a hvězd, je velký problém. Dnešní velmi dobré, hlavně družicové, měření poodkrývají i tyto otázky.
   Musím se na závěr omluvit, že nemohu odpovědět zatím více konkrétně, z důvodu předbíhání jednotlivých seriálu a nejednoduchému odpovězení na všechny problemy, které uvádíte.

   Petr Dvořák

3. 

   Zdeněk Mráz říká:
   14. 3. 2011 v 17:38

   Kromě Lorentzovy transformace existuje ještě jiná transformace , jejíž zvláštností je že má reálné a imaginární členy a podle této transformace je kontrakce délek ve všech osách x,y,z stejná, kdežto v Lorentzově transformaci je kontrakce jen ve směru osy x, to je ve směru rychlosti v. Transformační rovnice jsou
   t’ = (t-(v/c^2)*x)/gama , x’ = (x-v*t)/gama
   y’ = (y -i*v/c*z)/gama , z’ = (z+i*v/c*y)/gama,
   gama = sqrt(1-v^2/c^2).

4. 

   Petr Dvořák říká:
   15. 3. 2011 v 11:02

   Dobry den,
   to je velmi hezky prispevek. Podobne transformace se pouzivaji hlavne v casticove optice (napr. elektronovy mikroskop), kde se take vyuziva komplexni pocet k odeleni ruznych souradnic. Kazdopadne dekuji za zajimave doplneni.

jméno (povinné)

e-mail (nebude zveřejněn) (povinné)

web