Příběh gravitace II: Nebeská mechanika a třetí Keplerův zákon

6.3.2018 | Petr Dvořák

V minulém díle seriálu o gravitaci bylo pojednáno o historickém vývoji první teorie gravitace. Tou byla Newtonova teorie gravitační síly, která klesá se čtvercem vzdálenosti dvou hmotných těles a která byla poprvé publikována ve slavné knize Principie. V dnešním díle se podíváme na praktické úlohy nebeské mechaniky, kde se využívá právě Newtonova gravitačního zákona. Dnešní díl o gravitaci proto bude více matematický. Pozorný čtenář to ale jistě hravě zvládne.

Obr. 1: Schématický pohled na gravitační interakci

Připomeňme si nejprve Newtonův gravitační zákon, který říká, že velikost přitažlivé síly F mezi dvěma tělesy o hmotnostech m a M je

vztah_01.png

kde r je vzdálenost mezi středy hmotností (těžiště) obou těles a kde G je gravitační konstanta. Ze schématického obrázku 1 navíc vidíme, že obě tělesa na sebe působí stejně velkou silou opačného směru |F1| = |F2|.

Ještě zajímavějším poznatkem v gravitačním zákonu je fyzikální veličina hmotnosti. Hmotnost je přirozená vlastnost elementárních částic, ze kterých se skládá veškerá hmota. Hmotnost je fyzikální vlastnost, kterou májí všechny elementární částice, na které působí gravitační interakce, a je tedy zároveň její přirozenou příčinou. Pozoruhodné na přírodě je, že existuje pouze jediný druh této přirozené vlastnosti částic, tj. hmotnosti. Naproti tomu například náboje, které vyjadřují chování částic při elektromagnetických interakcích, máme v přírodě dva druhy, tzv. kladný a záporný. I u ostatních zbylých dvou interakcích (slabá a silná jaderná) pozorujeme v přírodě vícero druhů vlastností elementárních částic, které jsou s touto interakcí spojeny.

Hmotnost částic je tedy v tomto ohledu unikátní a způsobuje, že gravitační interakce je vždy jen přitažlivá. Gravitační působení je navíc dalekosáhlé, a protože neexistuje odpudivá gravitační interakce mezi tělesy, bude gravitace v makro měřítcích vesmíru hrát zásadní a dominantní roli (v budoucích pokročilejších dílech tohoto seriálu uvidíme, že ve vesmíru existují i antigravitační účinky, ale nyní to zanedbejme).

Nyní se zaměřme na případovou úlohu, která ve vesmíru nastává velmi často, a to pohyb okolo centrálního tělesa. Takovým případem je například pohyb Měsíce nebo družice okolo Země, pohyb Země nebo komety okolo Slunce, anebo pohyb Slunce okolo jádra naší Galaxie. Nejdříve je nutné si uvědomit, že se jedná o idealizovanou úlohu, kde hmotnost centrálního tělesa M je o mnoho řádů větší než hmotnost tělesa m, které kolem centrálního tělesa obíhá po kružnici. Časem totiž zjistíme, že touto trajektorií není přímo kružnice, ale elipsa, která je velmi podobná kružnici, tj. má malou excentricitu. Navíc předpokládáme, že centrální těleso se nepohybuje a je pevně ve středu kružnice. To také ve skutečnosti není zcela správně, neboť i obíhající těleso gravitačně lehce vychyluje centrální těleso, podobně jako například sportovní kladivo vychyluje z rotační osy kladiváře při hodu kladivem do dálky. Tohoto efektu vychylování společné rotační osy se například využívá při hledání tzv. exoplanet (planety obíhající okolo jiných hvězd než Slunce). Tato společná osa je však v případě M>>m velmi blízko těžiště centrálního tělesa a proto je toto první přiblížení (aproximace) vhodná pro zjištění základních vlastností této úlohy.

Obr. 2: Schématický pohled na pohyb okolo centrálního tělesa

Na obrázku 2 je zobrazena tato modelová situace. Těleso o hmotnosti m obíhá okolo centrálního tělesa o hmotnosti M po kružnici s poloměrem R a s obvodovou rychlostí v. Z astronomického hlediska dokážeme velmi dobře měřit dobu jednoho oběhu, kterou můžeme označit jako periodu T. Ze známého vztahu mezi úhlovou ω a obvodovou v rychlostí můžeme také vyjádřit rychlost oběhu jako

vztah_02.png

Pokud chceme popsat nějaký pohyb tělesa, musíme k tomu využít pohybový zákon a nyní je opět nutné připomenout Newtonovu genialitu, neboť právě on tento veledůležitý zákon klasické mechaniky objevil. Tento tzv. druhý Newtonův pohybový zákon říká, že zrychlení tělesa a je přímo úměrné výslednici sil působících na toto těleso. Konstantou úměrnosti je pak opět hmotnost tělesa m, tedy

vztah_03.png

kde i je sčítací index a N je počet sil působících na těleso. Z kinematiky je známo, že při rovnoměrném pohybu po kružnici musí mít těleso dostředivé zrychlení ad, které má velikost

vztah_04.png

Protože ve vesmíru je vakuum a nejsou zde žádné odporové síly, které by na těleso působily, bude na obíhající těleso působit pouze jedna jediná síla, která má dle požadavku na pohyb po kružnici dostředivý charakter, a to gravitační síla, je již snadné dosadit výše popsané vztahy do pohybového zákona. Dostaneme

vztah_05.png

Nyní je vidět, že dojde na obou stranách rovnice k vykrácení hmotnosti obíhající tělesa. Při pohybu okolo centrálního tělesa záleží tedy pouze na hmotnosti centrálního tělesa, a proto také všechny objekty, které se kolem tohoto centrálního těles pohybují, platí tato relace pohybu. Při dosazení vztahu mezi obvodovou rychlosti a periodou oběhu a při drobné matematické úpravě této rovnice, získáme výsledný pozoruhodný zákon

vztah_06.png

který říká, že třetí mocnina vzdálenosti centrálního a oběžného tělesa ku druhé mocnině oběžné doby tělesa je přímo úměrná hmotnosti centrálního tělesa. Všimněme si, že opravdu na levé straně rovnice máme až na konstanty pouze hmotnostní charakteristiku centrálního tělesa a naopak na pravé straně rovnice máme pouze charakteristiky oběžného tělesa. Jedná-li se tedy o systém jednoho centrálního tělesa a více oběžných těles, bude pro všechna tato tělesa na levé straně tohoto zákona stejná konstanta. Takovým systémem je třeba Sluneční soustava, kde všech osm planet obíhá okolo centrální hvězdy – Slunce.

Obr. 3: Mezinárodní kosmická stanice

Této zákonitosti si jako první povšimnul už v roce 1618 Johannes Kepler a postuloval tak třetí Keplerův zákon. Avšak jeho vysvětlení pomocí obecnější fyzikální teorie mechaniky a gravitace přinesl opět až Isaac Newton v roce 1687. Došlo tak poprvé v historii k propojení dvou do té doby oddělených fyzikálních disciplín nebeské a pozemské mechaniky. Tento zákon tedy platí stejně jak pro planety obíhající okolo Slunce, tak pro umělé družice vyslané na oběžnou dráhu okolo Země. Ze vztahu je dobře patrné, že tělesa, která obíhají blíže k centrálnímu tělesu (resp. která obíhají dále od centrálního tělesa), mají kratší dobu oběhu a musí tedy obíhat rychleji (resp. mají delší dobu oběhu a musí tedy obíhat pomaleji). Proto například Mezinárodní vesmírná stanice ISS (z angl. International Space Station), která léta na oběžné dráze pouze 400 km vysoko nad povrchem Země, musí mít dobu oběhu pouze 90 min. Na druhou stranu například družice GPS (z angl. Global Positioning System) se pohybuje ve výšce přes 20 tis. km, a proto mají dobu oběhu přes 12 hodin.

Při použití třetího Keplerova zákona na pohyb planet se často zavádí specializované jednotky, protože při použití SI jednotek jsou hodnoty konstanty na levé straně rovnice neprakticky vysoké. Neboť jednou z planet, pro kterou platí tento zákon ve sluneční soustavě je i planeta Země, je vhodné tyto specializované jednotky stáhnout relativně vůči ní. Pro dobu oběhu tedy používáme 1 rok a pro vzdálenost Země-Slunce tzv. 1 astronomickou jednotku AU (z angl. Astronomical Unit). Takto lze velmi pohodlně vypočítat vzdálenosti ostatních planet od Slunce pouze ze znalosti jejich doby oběhu, která se pomocí pozemských pozorování snadno určuje. Například pro planetu Mars lze naměřit dobu oběhu na 1,88 roku, Po dosazení to třetího Keplerova zákona získáme

vztah_07.png

Skutečná a družicově naměřená vzdálenost Marsu je 1,523 662 AU. Vidíme tedy, že i když pro odvození třetího Keplerova zákona byla použita aproximace kruhových drah, je velmi dostačující pro jistou hranici přesnosti.

V příštím díle se zaměříme na zbylé dva Keplerovy zákony, ke kterým budeme potřebovat zavést novou důležitou fyzikální veličinu, kterou je moment hybnosti. S využitím zákonu o zachování této veličiny a Newtonovy teorie si poté odvodíme zbylé dva Keplerovy zákony.

V tomto díle jsme si procvičili Newtonův gravitační a pohybový zákon a ukázaly jsme si aplikaci na jednu z nejdůležitějších mechanických úloh ve vesmíru, a to na pohyb okolo centrálního tělesa.


Webové stránky vytvořil DUOWEB.cz