Astrofyzika V: OTR teorie gravitace

Tento díl seriálu o astrofyzice plynule navazuje na předchozí díl věnovaný Obecné Teorii Relativity (OTR). Vysvětlili jsme si její základní principy a nastínili jsme, jak se OTR popisuje pomocí zakřiveného časoprostoru daného obecně Riemannovskou geometrií gravitační interakci. Dnes nalezneme slavné Einsteinovy rovnice, které ukazují, jak se tento prostor zakřivuje a dále si ukážeme nejzávažnější důsledky OTR.

Jak se časoprostor zakřivuje je popsáno Einsteinovým tenzorem křivosti

odvozeným v minulem díle. Otázkou zůstává, co toto zakřivení budí a co se bude nacházet na druhé straně rovnítka? Zde velmi pomohla podobnost s Maxwellovými rovnicemi, které popisovali elektromagnetické pole. Jejich formální tvar říká, že na jedné straně je objekt popisující pole (elektromagnetický tenzor intenzity), zatímco na druhé straně rovnítka je objekt popisující zdroj (například volné náboje). Hledejme nyní, stejně jako Einstein, gravitační variantu.

Gravitační pole je vyjádřeno geometrií časoprostoru. Víme, že je buzeno veškerou hmotou, která je podle Speciální Teorie Relativity (STR) ekvivalentní s energií. Dále víme, že pro slabá gravitační pole musí dávat Newtonův popis gravitační interakce. Objekt, který popisuje rozložení a pohyb hmoty-energie ve fyzikální soustavě je tzv. tenzor energie-hybnosti

Nyní již zbývá pomocí limitního přechodu pro slabé gravitační pole nalézt potřebné konstanty. Můžeme zkonstruovat slavné Einsteinovy rovnice OTR popisující gravitační pole

Jedná se vlastně o 16 nelineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, které popisují distribuci a evoluci rozložení časoprostoru pomocí metrického tenzoru. Přímo z nich vyplývají pohybové rovnice pro gravitační pole. Jejich analytické řešení je však velmi problematické pro nesymetrické úlohy. V dalších dílech si však některé speciální případy řešení ukážeme (jako například sféricky symetrická Černá díra). Ale nepředbíhejme…

Toto odvození není příliš elementární, bylo spíše Einsteinem uhádnuto, aby splňovalo všechny potřebné atributy. Později se nalezlo elementárnější odvození pomocí Hamiltonova variačního principu nejmenší akce. Einsteinovy rovnice lze pro slabší gravitační pole linearizovat a tím analyticky nalézt přibližné řešení těchto problémů.

Přejděme nyní k závažným výsledkům, které OTR předpověděla a které byly následně s velmi vysokou přesností potvrzeny, což navíc dokazuje její správnost. Již Einstein si uvědomil, že zakřivený časoprostor by měl ovlivňovat i světelné paprsky přenášející energii-hmotnost podle rovnice geodetiky. Lze dokonce převést Maxwellovy rovnice do tvaru, který započítává i gravitační pole. Výsledkem tohoto rozboru je, že gravitační pole ohýbá (podobně jako například sklo) světelné paprsky. Einsteinem bylo i vypočteno, jaký je tento ohyb pro naše Slunce. To byl jeden z největších úspěchu OTR. Při expedici za zatměním Slunce v roce 1916 vedenou Arthur Eddingtonem bylo změřeno přesně podle předpovědi OTR drobné posunutí hvězd o 1,75´´ nacházející se blízko Slunci způsobené právě gravitačním polem Slunce. Einstein a poté Fritz Zwicky (na obrázku) si v roce 1937 dále uvědomili, že tento efekt je velmi podobný, jako při průchodu čočkou. Bylo navrženo pozorovat pomocí nějakého hmotného objektu (dnes například galaxie nebo černá díra) vzdálené vesmírné objekty. Dnes se tato metoda gravitační čočky a astronomii hojně využívá.

Dalším důležitým potvrzením OTR byla přesná shoda s astronomickým měřením stáčení perihélia planety Merkur, které podle Newtonovy mechaniky nesouhlasilo o 43´´ za století. Vztahy vyplývající z OTR budou jednotlivě rozebrány pro různě symetrické úlohy.  A ještě dokonalejším měřením bylo naměření rudého a modrého gravitačního spektrálního posuvu v Poud-Rebkově experimentu, který využíval Mössbbauerův jev z kvantové fyziky. Na 22m vysoké vodárenské věži v Harvardu v roce 1960 změřili s přesností asi 1% posouvání spektrálních čar k jednomu nebo (při výměně zdroje a detektoru) k druhému konci spektra. Výsledek souhlasil přesně podle vztahu, který dává OTR

kde φ(P) je gravitační potenciál v daném bodě. S ještě o dva řády větší přesností byl gravitační posuv změřen roku 1976 pomocí družice Gravity Probe A a dále i v nesčetně jiných astronomických měření.

Pro vysvětlení některých jevů (v následujících dílech o astrofyzice) se musíme krátce zmínit o jevu, který souvisí také s pohybem těles v gravitačním poli. Budeme-li studovat tento problém nelokálně, například pro soustavu částic, zjistíme, že v gravitačním poli dochází k defokusaci (resp. fokusaci), je-li lokální hustota energie nezáporná (resp. záporná). Znamená to, že dvě blízké částice volně vedle sebe padající v gravitačním poli (zakřiveném časoprostoru) se budou pohybovat po geodetikách, které nebudou zcela paralelní, ale budou se vzájemně oddalovat (resp. přibližovat). Tato rozbíhavost (resp. sbíhavost) geodetik C splňuje velmi důležitou Raychaudhuriho diferenciální nerovnost

kde s popisuje vzájemný skluz geodetik, využívanou pří důkazech o singularitách a zákonech Černých děr.

Nejdůležitějším výsledek OTR je předpověď gravitačních vln. Pokud se rozložení hmoty s časem mění, reaguje na to i buzené gravitační pole. Jestliže se zdrojové těleso pohybuje periodicky, projeví se to kmitavými deformacemi zakřiveného časoprostoru. Einsteinova teorie gravitační interakce je velmi analogická s Maxwellovým popisem elektromagnetické, kde vznikají elektromagnetické vlny. Proto se zde vyskytne otázka existence i gravitačních vln a její možný přenos energie.

Skutečně při správném řešení Einsteinových rovnic ve vakuu nalezneme příčnou monochromatickou rovinnou vlnu šířící se rychlosti světla, která má pouze dva nezávislé stavy polarizace. Gravitační vlny mají navíc úhel invariance roven 180° tedy spin roven 2. To jak podle klasické fyziky, tak při podrobnějším rozboru OTR, říká, že gravitační záření musí mít nejméně kvadrupólový charakter.

Hlavním rozdílem mezi gravitační a elektromagnetickou vlnou je však její vzájemná interakce. Dvě elektromagnetické vlny na sobě navzájem nenechají stopy a interagují pouze s částicemi, které jsou nabité - například elektron. Gravitační vlna však představuje změny geometrie časoprostoru a může tedy rozkmitat každou hmotu. Navíc gravitační vlny nejsou gravitačně neutrální. Přenášejí energii-hmotu, a proto spolu působí jako zdroj gravitace. Lze dokonce říci, že gravitační vlny jsou „gravitačně nabité“. Gravitační interakce je však nejslabší interakcí v přírodě. Účinnost generace a detekce gravitačních vln je velmi slabá. Silnější gravitační záření může vznikat jen za extrémního nahromadění hmoty u vesmírných objektů.

Vzájemné ovlivňování gravitačních vln má za následek i optické efekty (rudý posuv nebo zakřivování paprsku v gravitačním poli). Dalším znepříjemněním je samotné ovlivnění zakřivení geometrie časoprostoru podle Einsteinových rovnic. To je dáno rozložením energie v daném prostoru, ale pří záření gravitačních vln, které nesou i určitou část energie, dochází ke změně tohoto rozložení a tím i ovlivnění zakřivení. Bylo proto nutné nalézt pseudotenzor energie-hybnosti, který v sobě zahrnoval i část energie nesenou gravitačními vlnami.

Jak již bylo řečeno, prakticky použitelnými zdroji gravitačních vln jsou vesmírné objekty. Ty můžeme rozdělit na periodické a aperiodické zdroje. Periodické zdroje vysílají téměř periodické gravitační vlny po značně dlouhou dobu. Jsou jím různá rotující tělesa jako například dvojhvězdy. Aperiodické zdroje mají impulzní povahu a jsou následkem katastrofických událostí ve vesmíru (například výbuch supernov). Nesférický gravitační kolaps nebo srážka dvou hmotných těles. V astronomii velmi často dochází, že se periodický zdroj změní na aperiodický. Například těleso, které obíhá po téměř kruhové dráze kolem černé díry, bude po dlouhou dobu periodickým zdrojem, který však v průběhu času klesne na mezní orbitu a pak je velmi rychle pohlceno černou dírou, přičemž vyzáří intenzivní záblesk gravitačního záření, tj. stane se aperiodickým zdrojem.

Podle OTR, pro nesférické hmotné těleso s momentem setrvačnosti I a odchylkou od axiální symetrie e, rotující úhlovou rychlostí ω kolem své osy vychází, platí vztah pro vyzářenou energii

To může být příčinou zpomalování pulzaru PSR 0532 v Krabí mlhovině s periodou 33 ms, který se každoročně zpomalí svou rotaci o 1,3E-5 s. Podobným rozborem můžeme nalézt vztah i pro nejběžnější vesmírný systém generující gravitační vlny – dvojhvězdy o hmotnostech m1 a m2, které obíhají ve vzdálenosti r, dostaneme

Při přepočítaní pro eliptický oběh nalezneme vztah pro zpomalování oběžné doby těchto dvou těles. To bylo roku 1974 i pozorováno J. Taylorem, H. Russelem a J. Weisbergem na velkém radioteleskopu observatoře Arecibo na slavném binárním pulzaru PSR 1913+16, který je označován za astrofyzikální relativistickou laboratoř PSR 1913+16. Bylo zde naměřeno ve shodě s OTR zpomalování periody na 6,7E-8 za jednu periodu, která činila pouze 7,75 hodiny. Toto je považováno za nepřímý důkaz existence gravitačních vln.

Posledním odstavcem věnovaného OTR si řekneme o problematice detekce gravitačních vln. Předpokládá se zde využití vzájemného velmi jemného rozkmitání dvou hmotných těles způsobených interakcí s gravitační vlnou. Historický průlom způsobili tzv. Weberovi detektory, které byly založeny na rezonanci velkých hliníkových válců. Bohužel jejich výsledky se nikdy nedaly objektivně doložit. Dnes se obrací pozornost na interferometrické detektory založené na rozpoznání drobných amplitud interagujících těles. Zjišťují se pomocí laserové interferometrie a jejím nejlepším zástupcem je projekt LIGO (Laser Interferometer Gravitational wave Observatory) v poušti státu Louisiana v USA s interferometrickými rameny dlouhými 4 km využívající 100 násobný odraz paprsku. Vyvrcholením by měl byt projekt LISA (Laser Interferometer Space Antenna) detekující gravitační vlny na oběžné dráze Země pomocí 3 družic s délkou ramen asi 5 milionů kilometrů.

Skutečností zatím bohužel je, že gravitační vlny se dosud nepodařilo přímo detekovat. Nacházíme se tedy v době podobné období pátrání pro elektromagnetismu (mezi Maxwellem a Hertzem). I když některé experimenty na potvrzení OTR skončily nezdarem z důvodů zašumění či poruchy měřících systému, nelze dnes pochybovat, že OTR je správnou teorií pro popis gravitace.

počet komentářů: 4 »

1. 

   Pavel říká:
   8. 9. 2010 v 11:41

   No tak to bylo moc pěkné čtení , až mi z toho přejel mráz po zádech. Jinak klobouk dolů.

2. 

   Petr Dvořák říká:
   8. 9. 2010 v 12:55

   Děkuji za kompliment a cením si Vašeho zájmu.

3. 

   Pavel říká:
   9. 9. 2010 v 13:29

   http://navratdoreality.cz/?p=view&id=4971 a co říkáte na tohle.

4. 

   Petr Dvořák říká:
   12. 9. 2010 v 19:19

   Ano tyto videa jsou velmi popularní a človek si u nich uvědomí, jak moc jsme ve Vesmiru nevyznamní. O vytvaření struktur ve Vesmíru si budeme také povídat v pozdějších dílech seriálu.

jméno (povinné)

e-mail (nebude zveřejněn) (povinné)

web