Astrofyzika IV: Obecná Teorie Relativity

Základním nedostatkem Speciální Teorie Relativity (STR) je její popis pouze pro inerciální systémy. V reálném prostoru se však běžně setkáváme se systémy neinerciálními. Tímto  prostorem je hlavně gravitační pole a její interakce s hmotnými objety. Ty se obecně pohybují po zrychlených drahách. Proto Albert Einstein v roce 1915 dokončil práci, kterou dnes nazýváme Obecné Teorie Relativity (OTR).

Pokud v OTR položíme zrychlení rovno nule, dostane zpět STR. STR byla vyústěním několika již známých poznatků z elekektrodynamiky a mechaniky. OTR však přinesla naprosto jiný pohled na problém gravitace a lze ji považovat za Einsteinovo velkolepé dílo. Samotná práce je však natolik matematicky náročná a její závěry natolik převratné, že i dnes se naleznou skeptici, kteří je jí pokoušejí vyvrátit. Její experimentální výsledky s obrovskou hodnotou přesnosti z ní však zcela jistě dělají zatím nejdokonalejší teorií gravitace, jakou lidé mají.  Jelikož je gravitace v astronomických měřítkách dominantní interakcí, je OTR i základem ke kosmologickému popisu.

Podobně jako u STR, Einstein hledal ten nejzákladnější princip, který by vše vysvětloval. Tento princip se nám dnes zdá až příliš obyčejný, uvidíme však, že je to klíč k celé OTR. V předchozích dílech o astrofyzice jsme narazili na neslučitelnost gravitační a setrvačné hmotnosti v Newtonově mechanice. Tento fakt přivedl Einsteina k myšlence, kterou dnes nazýváme princip ekvivalence.

Představme si, že se nacházíme ve výtahu, který je naprosto izolovaný od okolí. Nyní tento výtah začněme vytahovat (například lanem) směrem vzhůru se zrychlením 9,81m/s2 a provádějme libovolný fyzikální pokus v tom výtahu. Poté tento výtah položme na Zeměkouli, kde je lokální gravitační zrychlení rovno 9,81m/s2. Opět začněme dělat stejné fyzikální pokusy jako ve zrychlujícím výtahu. Asi nikoho nepřekvapí, že všechny pokusy dopadnou naprosto stejně jak pro zrychlující výtah, tak pro výtah umístěný v gravitačním poli. Princip ekvivalence tvrdí, že nelze nikterak rozlišit, jestli soustava zrychluje nebo se nachází v stejně silném gravitačním poli. To znamená, že nelze odlišit setrvačné a gravitační jevy, stejně tak i hmotnost.

Nyní již víme, že gravitační pole se chová stejně jako soustava, která se pohybuje se zrychlením. Pojďme nyní k dalšímu myšlenkovému pokusu, kde využijeme poznatků STR z předchozích dílů. Představme si rovný a nepohybující se kotouč (obrázek 1), kde naším úkolem je změřit jeho poloměr a obvod pomocí dostatečně krátkého měřidla. Podle Eukleidovské geometrie by měl platit známý vztah, který nám říká, že

Nyní stejný kotouč roztočme a proveďme stejný pokus znovu. Při měření poloměru nám se zvyšující se obvodovou rychlostí od středu stále zvětšuje kontrakce délkového měřidla, a proto naměříme větší poloměr něž u nerotujícího kotouče. Změříme-li i obvod u rotujícího kotouče, nebude odpovídat vztahu pro rovinný prostor (Minkowskiho prostor). Bude se nám jevit jako prostor vyboulený. Podle relativity může pozorovatel uvnitř rotující kotouče tyto jevy přisoudit odstředivému zrychlení.  Vidíme tedy, že prostorová geometrie v neinerciálních vztažných soustavách není obecně eukleidovská, nelze zde sestrojit kartézskou soustavu prostorových souřadnic. Podobný myšlenkový pokus můžeme provést i s hodinami, které pro různě silné zrychlení poběží jinak.

Shrňme si zatím zjištěné poznatky. Gravitace se chová stejně jako zrychlená soustava a tu lze popsat zakřivenou geometrií daného prostoru. Můžeme tedy vyslovit hledanou cestu k matematickému popisu OTR: “Každé těleso zakřivuje svou přítomností prostor a čas kolem sebe”. OTR ukazuje, jak se gravitace projevuje zakřivením prostoru a času, avšak nevysvětluje, proč se tak děje. Tuto myšlenku nechme otevřenou pro další díly seriálu.

Einstein tedy správně pochopil, že cesta k popisu gravitace je pomocí principu ekvivalence. Vyskytují se zde však nemalá úskalí, o kterých si řekněme v zápětí. Tím nejdůležitějším je samotná lokálnost gravitačního pole. Proto je princip ekvivalence popisovaný v druhém odstavci často označován jako slabý.  Předpokládali jsme, že v určitém malém okolí můžeme považovat gravitační pole za homogenní. Gravitační pole však může být tak silné (například uvnitř Černých děr), že lokální homogenní pole bude mít rozměry menší než elementární částice. I přes to však lze nalézt takovou vztažnou soustavu, v níž se volná tělesa pohybují, jakoby pole nebylo. V dostatečně malém okolí každého bodu lze gravitace libovolného původu a struktury považovat za homogenní, a tedy zde budou platit kinematické zákony a STR. Můžeme nyní vyslovit teorém principu ekvivalence:

Gravitační pole v každém místě je lokálně ekvivalentní pro všechny fyzikální děje, kdy není žádné gravitační pole, ale vztažná soustava (pozorovatel) v tomto bodě se pohybuje s příslušným zrychlením.

Jediný případ omezující lokální princip ekvivalence je tzv. singularita (například ve středu černé díry), kde již nelze zavést lokální inerciální soustavu, nelze zde provádět žádné fyzikální měření ani pokusy, neboli neexistuje zde vůbec regulární prostoročas. OTR se i díky tomuto principu vyhnulo zavedením pojmu síla, který byl v Newtonově mechanice také velkým problémem.

Matematickým popisem* gravitace je tedy geometrický popis prostoru. K tomuto účelu jsme si již v STR zavedli pojem metrika a metrický tenzor g. Rovnice pro pohyb volné částice v obecně křivočarých prostorových souřadnicích nazývaná rovnici geodetiky má tvar
kde
jsou Christoffelovy koeficienty afinní konexe. Vidíme, že fyzikálně obsahují pouze informaci o zakřivení daného prostoru. Dráha, po které se daná částice pohybuje, se nazývá geodetika. OTR vlastně říká, že těleso libovolné hmotnosti a tvaru se pohybuje po nejrovnějších možných geodetikách v tomto zakřiveném časoprostoru.

Na závěr tohoto dílu si matematicky popišme obecně libovolně zakřivený prostor, to jest tzv. Riemannovský prostoročas. Opět by měl obsahovat stejně jako rovnice geodetiky pouze metrický tenzor, který je navíc invariantní (kovariantní) vzhledem k libovolné transformaci prostoročasové souřadnice. Zde hraje hlavní roli Riemannův-Christoffelův tenzor křivosti definovaný jako
Vidíme, že obsahuje maximálně druhé a první derivace metrického tenzoru, což se v souladu s klasickou mechanikou. Jeli
prostor je plochy. V opačném případě je zakřivený. Samotný tenzor křivosti obsahuje 256 složek, ale z důvodu symetrie a algebraickým identitám obsahuje „pouze“ 20 nezávislých složek ve čtyřrozměrném prostoročase. Tímto zúžením dávající nenulové řešení, dostaneme tzv. Ricciho tenzor křivosti
Dalším zúžením dostaneme invariant, který se nazývá skalární křivost daného prostoru

Tyto tenzory navíc splňují tzv. Bianchiho identitu pomocí, které dostaneme kovariantní Einsteinův tenzor křivosti

který hraje klíčovou roli v rovnicích gravitačního pole, jak uvidíme v dalším dílu seriálu věnovaného pokračovaní obecné teorie relativity. Tento na první pohled velmi složitý popis křivočarého prostoru děla samotnou OTR velmi složitou a bez použití iteračních metod a počítačů můžeme nalézt algebraické řešení pouze pro velmi symetrické problémy.

__________________________________________________________

* v celém seriálu o astrofyzice je používaná Einsteinova sumační symbolika.

Citace

[1] V. ULLMANN: Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu, ČSAV Ostrava, 1986

jméno (povinné)

e-mail (nebude zveřejněn) (povinné)

web